Wszystko zaczęło się od tego wpisu, którego głównym bohaterem jest paradoks urodzin, a który przeczytałem niedawno. Kto by pomyślał, że wybierając losowo (tylko) tysiąc liczb ze zbioru (aż) czterech milionów liczb mamy (aż!) 10% szans na to, że wybrane liczby się powtórzą? Co prawda nie liczyłem samodzielnie, ale wynik wygląda na prawidłowy. WolframAlpha co prawda wymięka dla czterech milionów, ale dla jednego miliona liczy i wychodzi ok. 39%.
Przypomniało mi się niedawne narzekanie – nie pamiętam niestety czyje – że w hasłach jednorazowych przysyłanych przez mbank SMSem takie same cyfry występują obok siebie się zbyt często, więc chyba generator pseudolosowy jest słaby czy też wręcz zepsuty. Jak mi się przypomniał ten temat, to postanowiłem policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że SMS, który dostaliśmy, zawiera hasło jednorazowe z powtarzającymi się obok siebie cyframi.
Cyfr w przysyłanym haśle jednorazowym jest osiem. Prawdopodobieństwo, że cyfra kolejna jest różna od cyfry poprzedniej wynosi dokładnie 0,9. Czyli, żeby cyfry się nie powtarzały, to druga musi być inna, niż pierwsza, trzecia inna, niż druga, …, i na koniec ósma inna, niż siódma. Pierwsza cyfra nie ma się z czym powtarzać, oczywiście.
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszystkie cyfry są różne wynosi zatem dla ośmiocyfrowego hasła jednorazowego 0,9^7 (pierwsza cyfra nie ma znaczenia, bo nie ma się z czym powtarzać) czyli 47,83%. Jaka jest zatem szansa, że cyfry się koło siebie powtórzą? Oczywiście prawdopodobieństwo odwrotne, czyli 1 – 0,9^7. Czyli 52,17%. Zatem, jeśli wszystkie cyfry mają takie samo prawdopodobieństwo wylosowania na wszystkich pozycjach (a tak teoretycznie być powinno), to częściej dostaniemy hasło jednorazowe, gdzie mamy powtarzające się cyfry koło siebie, niż takie, w którym się nie powtarzają. Nie ma to oczywiście nic wspólnego z pierwotnym paradoksem urodzin, ale jest ciekawe.
Nawiasem, prawdopodobieństwo, że którekolwiek cyfry w otrzymanym haśle jednorazowym się powtórzą (niekoniecznie obok siebie) wynosi aż 98% (i to już liczymy wykorzystując wzór do paradoksu urodzin).